Matemáticas 11° Semana 6

 

SEMANA DE APLICACIÓN :
COLEGIO								CALENDARIO	A
AÑO LECTIVO	2020	GRADO	11º	PERIODO	Primero	DOCENTE

ESTANDAR

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos. 

COMPONENTE

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

INDICADOR DE DESEMPEÑO

Aplico las propiedades del conjunto numérico de los números reales para el cálculo de límites. 

METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA

1. Unidad didáctica

 Límites de funciones 

2. Propósito

 Determinar límites de funciones aplicando propiedades de los límites.  

3. Desarrollo cognitivo instruccional

Cálculo de límites. Límites de funciones polinómicas y racionales.

Una función polinómica es una función del tipo: 

 

  

Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos: 

  

  

El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto: 

  

        

  

B. Límite de una función polinómica en el infinito 

  

El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ o -∞, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo: 

  

     

  

  

Ejemplo:

  

Resolución: 

  

  

Resolución: 

  

8/3, es positivo. 

Cálculo de límites de funciones racionales

  

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos: 

  

  

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones: 

  

       

  

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior. 

  

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones. 

  

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente. 

  

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0. 

  

  

  

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz

  

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados. 

  

A.2.2. El límite del numerador no es cero. 

 

  Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite. 

Ejemplo:

  

Solución: 

  

  

  

Solución: 

  

  

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 y 

Q(x) = x2 + 3x -10. 

  

 Descomposición factorial de P(x): 

 

  

  

 Descomposición factorial de Q(x): 

  

 

  

 El límite del cociente P(x)/Q(x) es: 

  

  

  

 Solución: 

  

  

 Se simplifican numerador y denominador: 

  

  

  

Solución: 

  

 Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3. 

  

  

  

  

  

Solución: 

  

 Se estudian los límites laterales: 

  

  

  

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.

Límite de una función racional en el infinito 

  

Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x tiende a infinito son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones. 

 El límite de una función racional cuando  x tiende a infinito es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador. 

  Si  

 

  

  

El valor de este límite depende del valor que tengan n y m: 

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es infinito, positivo o negativo, dependiendo de que los signos de los cocientes an   y bm   sean iguales o distintos
• Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m),   
• Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n<m), el límite es 0. 

  

Ejemplo:

  

Solución: 

  

En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es . 

  

  

    Resolución:  El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto: 

  

  

  

Solución:  El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto: 

  

  

  

Solución: El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto: 

  

4. Desarrollo Metodológico

Actividad  1: 

Completa los espacios en blanco con el argumento que satisface el concepto de los límites. 

1. f(x) = L, significa que f(x) está cerca de _____, cuando x está suficientemente cerca (pero es diferente) de _____.

 2. Sea f(x) = (x2 - 9)/(x - 3) donde f(3) está indeterminada. Sin embargo (x2- 9)/(x - 3) , _____.

3.  f(x) = L significa que f(x) está cerca de _____ cuando x se aproxima a “c” por la _____. 

4. Si, f(x) = M y . f(x) = M entonces _____. 

Actividad 2

Determine los siguientes limites:
En los problemas del 7 al 12 determine el límite que se indica. En la mayoría de los casos, es buena idea usar primero un poco de álgebra. Ejemplo: SOLUCIÓN: Observe que (x2 - x - 6)>(x - 3) no está definida en x = 3, pero todo está bien. Para tener una idea de lo que está sucediendo cuando x se aproxima a 3, podríamos emplear una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etcétera. Pero es mucho mejor utilizar un poco de álgebra para simplificar el problema. La cancelación de x - 3 en el segundo paso es válida ya que la definición de límite ignora el comportamiento en x = 3. Recuerde, x-3x-3 = 1, siempre que x no sea igual a 3. Tener en cuenta el anterior ejemplo para calcular los siguientes límites.

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